А далее насчет «действительных чисел» идет сплошной обман.
Во-первых, на самом деле истинные числа соответствуют вовсе не точкам на оси координат, а их удаленностям от того места на ней, которое называется началом координат.
О явной абсурдности сопоставления чисел точкам оси координат свидетельствует, например, геометрическое толкование сравнения чисел между собой. Ведь сравнивать по величине можно лишь отрезки оси, ограниченные какими-то ее точками, но нельзя сравнивать по величине точки, ибо они в геометрии естества никакой величиной не обладают. Так что всякое число соответствует не самой какой-то точке на оси координат, а исключительно ее удаленности от начала координат, то есть длине того отрезка оси, концом которого она является. И только одному нулю, в отличие от чисел, соответствует именно точка, представляющая собой для всех остальных точек на оси начало их координат.
Во-вторых, сопоставление чисел точкам оси координат приводит к такому уродству, как отнесение к разряду чисел нуля.
Ведь понятие нуля с начала его возникновения и на протяжении многих веков трактовалось исключительно как отсутствие всякого количества. Ибо считалось, что каждое число соответствует некоторому определенному количеству, а если вообще нет никакого количества, или оно есть, но по какой-то причине не подлежит определению, то нет тому и числа.
Причем заметим, что лжематематическое превращение нуля в число, позволив несколько упростить выполнение с ним арифметических действий, породило, однако, целый ряд и по сей день остающихся открытыми проблем, носящих фундаментальный характер.
В-третьих, с теми из «чисел», которые, будучи бесконечными, называются «иррациональными», невозможно производить какие-нибудь арифметические действия так же, как это делается с настоящими числами.
И чтобы убедиться в том, попробуйте сами (а лучше, предложите кому-либо из адептов лжематематики) сложить до конца два, например, таких «действительных числа», как 4,396125… и 2,603875…, и предоставить конечный результат этого сложения. Причем если кто-то скажет, что сумма данных «чисел» равна числу 7, то он будет не прав. Ибо здесь у каждого «числа» приведены только первые семь цифр, а остальные, количество которых бесконечно, остаются неизвестными. Поэтому при их сложении получится (но с точностью лишь до шестого знака после запятой, и, следовательно, отнюдь не являющееся конечным результатом) «число» 7,00000…. Кстати, по той же самой причине нельзя утверждать и то, что, например, бесконечные «числа» 1,945… и 1,945… равны между собой. Кроме того, подлинным числам присуще еще и свойство быть четными или нечетными, коим «иррациональные числа», в силу своей неопределенности, вызванной их бесконечностью, не обладают.
В-четвертых, никакие числа не могут непрерывно следовать друг за другом.
Так, об отсутствии промежутков «между точками на действительной оси» необходимо заметить следующее. Как было доказано выше, точки ни при каких обстоятельствах не могут образовать друг с другом нечто непрерывное, обладающее протяженностью, так как собственная протяженность каждой точки в отдельности равна нулю. То же самое касается и «действительных чисел». Ведь, чтобы они следовали друг за другом без промежутков, среди них должны существовать пары таких различных, не равных между собой «чисел», разность которых была бы равна нулю. Таким образом, как ни крути, а какой-либо непрерывной последовательности из точек или чисел не получается. Поэтому, дабы избавиться от указанных противоречий и больше не морочить никому голову всякой ерундой, остается только одно: вновь вернуться в лоно подлинной математики, продолжая и дальше «перескакивать через отрезок длины» как от точки к точке, так и от числа к числу.
И наконец, в-пятых, допущение возможности существования дробных бесконечных «чисел», делает необходимым существование целых бесконечных «чисел».
Действительно, если взять, например, «иррациональное число» 1,4142135…, то его дробная часть будет представлять собой не что иное, как частное от деления «бесконечного целого числа» 4142135… на такого же рода «число» 1000000…. То есть выходит, что получить «иррациональные числа» можно лишь с помощью «бесконечных целых чисел». Поэтому наделение правом на существование «дробных бесконечных чисел», влечет за собой необходимость наделения тем же правом «целых бесконечных чисел».
____Собственно говоря, как раз отсюда-то Кантор и пришел к выводу о необходимости создания теории «бесконечно больших целых чисел», построение которой потребовало от него обращения к тем самым «множествам-вместилищам», наделенным им способностью существовать независимо от образующих их элементов.