Задача

Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, 5 бывших зрителей турнира заявили:
1) Антон был вторым, а Борис пятым.
2) Виктор был вторым, а Денис третьим.
3) Григорий был первым, а Борис третьим.
4) Антон был третьим, а Евгений шестым.
5) Виктор был третьим, а Евгений четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый мог ошибиться не более чем в одном высказывании. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Решение.

Будем обозначать высказывания зрителей Х_k , где Х – первая буква имени участника турнира, а k – номер места, которое он занял в турнире:

1. Антон был вторым (А₂), а Борис пятым (Б₅).
2. Виктор был вторым (В₂), а Денис третьим (Д₃).
3. Григорий был первым (Г₁), а Борис третьим (Б₃).
4. Антон был третьим (А₃), а Евгений шестым (Е₆).
5. Виктор был третьим (В₃), а Евгений четвертым (Е₄).

В высказываниях зрителей одно высказывание может быть ложным, поэтому будут истинными дизъюнкции этих высказываний А₂ V Б₅, В₂ V Д₃ , Г₁ V Б₃ , А₃ V Е₆ , В₃ V Е₄.

Но тогда истинной будет конъюнкция : K= (А₂ V Б₅) (В₂ V Д₃) (Г₁ V Б₃ ) (А₃ V Е₆) (В₃ V Е₄ ) = 1.

Учитывая, что Х_k Х_n = 0 при k ≠ n и Х_kY_k = 0 при X≠ Y, получаем путем последовательного раскрытия скобок в К:
К = (А₂ Д₃ ∨Б₅В₂ V Б₅Д₃)( Г₁А₃ V Г₁Е₆ V Б₃Е₆)(В₃ V Е₄) =
=(А₂Д₃Г₁Е₆ V Б₅В₂Г₁А₃ V Б₅В₂Г₁Е₆ V Б₅Д₃Г₁Е₆)(В₃ V Е₄) =
=А₃Б₅В₂Г₁Е₄ = 1

Полученное соотношение дает распределение первых 5 мест и автоматически получаем, что Денис был шестым, т. е. Д₆ = 1.